Бессеточный метод на основе радиальных базисных функций для численного решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовому уплотнению вала

Постановка проблемы

Определение режимов работы торцового уплотнения, вычисление несущей способности смазочного слоя, величины утечки, а также других расчётных параметров и критериев необходимо для проектирования новых и модернизации существующих конструкций уплотнений валов, проведения экспертизы и анализа их технических решений [1, 2]. Успешное решение этих инженерных задач, в значительной мере, связано с нахождением численного решения основного уравнения гидродинамической теории смазки - уравнения Рейнольдса, в полярных координатах, которое является дифференциальным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами [3]

---

Имеются работы, в которых, решение уравнения Рейнольдса для торцовых уплотнений проводилось с применением различных численных методов: метод избранных точек (коллокаций) с аппроксимацией функции давления с помощью рядов Фурье [3], метод конечных разностей (МКР) [4], метод конечных объёмов (МКО) [5], метод конечных элементов (МКЭ) [6].

Ещё в конце 1960 - начале 1970-х годов в СССР проводились исследования и решались практические задачи по созданию и совершенствованию опор трения (подшипники скольжения, гидростатические и гидродинамические торцовые уплотнения) [3]. Для решения уравнения Рейнольдса применительно к опорам трения успешно использовался на практике метод избранных точек (коллокаций) с аппроксимацией функции давления с помощью (тригонометрических) рядов Фурье, степенных рядов, полиномов Чебышева и других. Этот метод не требует разбиения расчётной области равномерной сеткой, однако, несмотря на относительную простоту реализации на практике, в связи с имеющимися ограничениями в доступности и производительности компьютерной техники в тот период времени, использовался автором только для прямоугольных областей интегрирования [3]. Недостатками метода является появление проблем со сходимостью рядов при нахождении коэффициентов в уравнениях и достижении приемлемой точности решения, особенно для областей с умеренными градиентами давлений, а также усложнёнными граничными условиями. В существующих реалиях 21-го века указанные выше недостатки не позволяют использовать этот метод с теми же функциями аппроксимации для практического применения при расчёте параметров торцовых уплотнений с волнистыми рабочими поверхностями колец пары трения, в том числе, содержащими микроканавки, текстурированные поверхности трения и т.п.

Метод конечных разностей аппроксимирует производные функций локальными аргументами и, несмотря на простоту реализации, имеет низкий, второй порядок точности, требует создания сетки внутри рабочей области с равномерно расположенными узлами между ними. Для получения более точного численного решения необходимо, чтобы шаг между узлами сетки был как можно меньше. Кроме того, достижение приемлемой точности численного решения уравнения Рейнольдса возможно только для поверхностей трения с квадратной или прямоугольной геометрической формой [8].

Метод конечных объёмов, как и предыдущий метод МКР, имеет второй порядок точности. Неоспоримое преимущество МКО - стабильность нахождения физически верного численного решения уравнения Рейнольдса, на что также требуется большое количество разбиений сеткой. Практическая реализация для рабочих областей произвольной формы требует применение достаточно сложного математического аппарата и значительных усилий в области программирования, соизмеримых с методом конечных элементов [8].

Метод конечных элементов является наиболее сложным из всех вышеперечисленных, позволяет учитывать и искусственно созданную волнистость и микроканавки, однако реализуется, как правило, только в достаточно сложных и дорогих коммерческих программных комплексах. Такие специализированные программные комплексы отличаются высокой стоимостью и практически недоступны для большинства независимых инженеров и исследователей. Расчётные области с градиентами давлений, характерные для микроканавок и текстурированных поверхностей трения, должны содержать большое количество линейных конечных элементов из-за низкого порядка их точности. Более того, разбиение областей на конечные элементы является непростой самостоятельной задачей, которая требует применения сложного математического аппарата и существенных затрат времени и компьютерных ресурсов [8].

Для решения практических инженерных задач, связанных с определением режима работы и расчётом параметров торцового уплотнения, с возможной волнистой и (или) текстурированной рабочей поверхностью колец пары трения, в том числе, содержащей микроканавки, необходимо выполнить поиск современного численного метода для решения уравнения Рейнольдса. Этот численный метод не должен быть трудоёмким в исполнении и, одновременно, обязан обеспечивать необходимую и достаточную для оценочных инженерных расчётов точность, не требовать использования сложного математического аппарата и значительных вычислительных ресурсов. Реализация и проверка этого численного метода для проведения компьютерных исследований и выяснения возможности его применения для решения задач, к которым имеются аналитические (точные и приближённые) решения, а также выявление особенностей и ограничений - является важным заключительным этапом настоящей работы.

---

Актуальность

Актуальность настоящей исследовательской работы объясняется тем, что от 60 до 90% отказов в эксплуатации оборудования (насосы, компрессоры, мешалки, реакторы, ротационные уплотнительные соединения и т.п.) происходит из-за выхода из строя торцовых уплотнений раньше предельного износа их пар трения [1]. Одной из главных причин этой проблемы является отсутствие у инженера-проектировщика необходимых расчётных методик и специализированного компьютерного программного обеспечения для получения необходимой и достоверной информации о возможных режимах работы торцового уплотнения в зависимости от известных рабочих параметров и условий эксплуатации уплотнения и оборудования [4,7].

Бессеточный метод на основе радиальных базисных функций для решения дифференциальных уравнений в частных производных

Поиск, изучение и анализ источников литературы и публикаций за последние двадцать лет, проведенный авторами настоящей исследовательской работы, выявил существование нескольких перспективных направлений современных численных методов для решения уравнений в частных производных - бессеточные методы. Наиболее часто применяемые и перспективные - это бессеточные методы на основе радиальных базисных функций (РБФ) [9, 10, 11].

В работе [12] на примерах показаны сравнительные результаты численного решения дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями первого рода для одномерной задачи распределения температуры с помощью методов МКР, МКО, МКЭ, а также бессеточного метода коллокаций с применением глобальной РБФ. Расчётная область разбивалась на шесть равномерно отстоящих друг от друга узлов. Значения температур определялись для каждого узла и сравнивались с аналитическим решением. Результаты сравнительных расчётов показали, что бессеточный метод коллокаций с применением глобальной РБФ прост в реализации и обладает почти на порядок более высокой точностью по сравнению с классическими численными методами МКР, МКО и МКЭ. Из публикации [13] следует, что для численного решения уравнения Пуассона в трехмерном пространстве бессеточным методом с применением РБФ требуется всего лишь 60 (шестьдесят) случайно выбранных узлов в расчетной области или 71000 (семьдесят одна тысяча!) линейных конечных элементов для получения точности численного решения одного прядка.

На основе ранее опубликованных работ Ролланда Харди [14, 15], впервые применение прямого метода коллокаций с использованием мультиквадратичной РБФ (MQ) для решения дифференциальных уравнений в частных производных было предложено Эдвардом Канса [16, 17].

Для эллиптического дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами a и b

где значения функции u(x,y) на границах расчётной области

искомая функция внутри расчётной области аппроксимируется следующим выражением c использованием мультиквадратичной РБФ (MQ)

на границе расчетной области граничные условия первого рода

где
X - узел с координатами [x, y];
u(X) - приближенное значение функции в узле X;
N - общее количество узлов, определяемое как сумма узлов N_inside внутри расчётной области и N_outside на её границе;
λ_j - искомые коэффициенты системы уравнений;
φ_MQ - мультиквадратичная РБФ (MQ) для двумерной задачи

где c - параметр формы [20], причём c > 0; D - расстояние между узлами, которое определяется по формуле

Существенное повышение точности и стабильности нахождения численного решения вблизи границ расчетной области возможно при использовании симметричного метода аппроксимации [18,19,20]

где φ(X, Xj) - глобальная РБФ.

Наиболее часто применяемые глобальные радиальные базисные функции приведены в работах [9, 11, 20]:
1. Мультиквадратичная РБФ (MQ), (см. формулу (6));
2. Инверсная мультиквадратичная РФБ (IMQ):

3. Обобщённая мультиквадратичная РФБ (GMQ):

4. Обобщённая РБФ сплайна тонких пластин (GTPS):

---

---

Теоретические исследования [11, 20, 24] показали, что для повышения стабильности и точности численного решения при использовании глобальных РБФ MQ, GMQ и GTPS, а также уменьшения влияния параметра формы ["с" для MQ и GMQ], к аппроксимируемой функции (8) может быть добавлена полиномиальная часть

с обязательным условием для получения уникального решения

где m_P - количество полиномиальных базисных функций, m_P < N.
После подстановки зависимости (12) в уравнение (2) для всех внутренних узлов в расчётной области

и для всех узлов на границе расчетной области

Записывая коэффициенты в векторной форме

где

Проведя необходимые вычисления и преобразования для каждого узла расчётной области для выражений (14) и (15), получается система линейных алгебраических уравнений, записанная в матричной форме:

Глобальные радиальные базисные функции IMQ и GMQ при q < 0 являются положительно определёнными функциями; РБФ MQ, GMQ при q ≥ 1, а также GTPS при q ≥ 2 условно положительно определённые функции. При использовании этих РБФ существует обратная матриц A [9, 11, 20], а значит единственное решение системы линейных уравнений (23) может быть найдено численными методами.

Несмотря на то, что для бессеточного метода коллокаций на основе РБФ нет каких-либо ограничений на выбор координат узлов, исследования [23] показали, что наиболее точные результаты аппроксимации значений функций получаются, когда узлы располагаются неравномерно, в том числе, с применением функциональных зависимостей Гаусс - Лобатто - Чебышева.

Вначале проверка бессеточного метода на основе глобальных РБФ проводилась средствами системы Mathcad [25] для тестового эллиптического уравнения в частных производных с переменными коэффициентами.

В дальнейшем, с целью повышения эффективности и сокращения затрат времени, рассматриваемый численный метод решения уравнения Рейнольдса для торцового уплотнения (с изменениями и дополнениями, которые не являются темой настоящего исследования и публикации) был включён в математическую модель торцового уплотнения вала; реализован в виде отдельного класса на языке программирования С++ и вошёл в состав библиотеки MSL [21] для Mathcad.

---

Эллиптическое уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

На первом этапе точность бессеточного метода на основе глобальных РБФ и работоспособность алгоритма проверялась для эллиптического дифференциального уравнения в частных производных с переменными коэффициентами a(x,y) и b(x,y) и граничными условиями первого рода [22] для расчётной области Ω ⊂ [ 0 ; 1]

правая часть уравнения (2)

Аналитическое решение уравнения (2) с входящими в него переменными коэффициентами (27) и (28) в виде трёхмерного графика показано на рисунке 1 и описывается уравнением

Сравнительная оценка точности получаемого численного решения относительно аналитического (точного) решения проводилась по среднеквадратической ошибке (RMS)

где
m - номер узла;
x_m, y_m - координаты узлов по осям x и y;
λ - вектор искомых коэффициентов в РБФ;
λ_P - вектор искомых коэффициентов полиномиальной части;
q, c - параметры формы глобальной РБФ.

Мультиквадратичная РБФ (MQ), инверсная мультивадратичная РБФ (IMQ) и обобщённая мультиквадратичная РБФ (GMQ)

На рисунках 2 и 3 показаны расчётные области (вариант 1 и вариант 2) с отмеченными узлами, для которых решалось эллиптическое уравнение в частных производных с переменными коэффициентами.

На рисунке 4 приведены графики значений среднеквадратической ошибки RMS для расчётной области по варианту 1 в зависимости от параметра формы "c".

Наиболее точная аппроксимация решения бессеточным методом получается при использовании обобщённой глобальной РБФ (GMQ) с оптимальным значением q ≈ 1.03. Кроме того, эта РБФ менее чувствительна к выбору параметра формы "c". Для данного случая добавление полиномиальной части m_P = 3 обеспечивает дополнительное снижение среднеквадратической ошибки RMS примерно на ~ 26%.

Результаты сравнительных расчётов с применением мультиквадратичной РБФ (MQ), инверсной мультиквадратичной РБФ (IMQ) и обобщённой мультиквадратичной РБФ (GMQ) приведены в таблице 1.

Из этой таблицы следует, что при оптимальном значении параметра формы c_opt наиболее точное решение может быть получено с применением РБФ GMQ при q ≈ 1.03 и m_P = 1; близкий по точности результат достигается для мультиквадратичной РБФ (MQ) и m_P = 3.

Наихудший результат решения тестовой задачи по критерию RMS для эллиптического дифференциального уравнения в частных производных с переменными коэффициентами получается с глобальной инверсной мультиквадратичной РБФ (IMQ). Поэтому в последующих расчётах для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовому уплотнению вала эта радиальная базисная функция не использовалась.

Обобщённая РБФ сплайна тонких пластин (GTPS)

Результаты сравнительных расчётов среднеквадратической ошибки RMS с применением глобальной РБФ GTPS для параметров q = 2, 3 и 4, приведены в таблице 2 и на рисунках 5 - 6.

Наихудший результат численного решения для тестового уравнения наблюдается для GTPS при q = 2, т.е. для частного случая РБФ сплайна тонких пластин TPS. Наиболее точное решение получается с использованием глобальной GTPS для q = 3 и, отчасти, для q = 4. Примечательно, что среднеквадратичная ошибка RMS с этими радиальными базисными функциями, не содержащими параметр формы "с", на порядок ниже, чем для РБФ MQ и GMQ даже с оптимальными значениями параметра формы c_opt.

Улучшение точности численного решения на ~16...42% для глобальной РБФ GTPS и q = 3 возможно при добавлении константы (m_P = 1).

Анализ полученных результатов подтвердил возможность практического применения бессеточного метода коллокаций на основе глобальных радиальных базисных функций MQ, GMQ и GTPS для решения эллиптического уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. В следующих разделах этот проверенный численный метод будет использоваться для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовому уплотнению вала.

---

---

Торцовое уплотнение вала

На втором этапе апробация бессеточного метода на основе РБФ для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовому уплотнению вала проводилась на примерах (задачах) и в сравнении с параметрами, определёнными из аналитических выражений, опубликованных в работе [4].

Расчётная схема торцового уплотнения показана на рисунке 7, исходные данные приведены в таблице 3.

Проверка бессеточного метода на основе глобальных радиальных базисных функций для торцового уплотнения выполнялась для следующих трёх задач:
• осесимметричная задача с постоянным минимальным зазором hmin и ψ_Σ = 0;
• осесимметричная задача с предпочтительной конфузорной щелью ψ_Σ > 0 (p₂ > p₁) и диффузорной щелью ψ_Σ < 0 (p₂ > p₁);
• волнистая рабочая поверхность с минимальным зазором hmin при условии ψ_Σ = 0, с амплитудой волнистости A_wave и количеством волн i_wave.

С целью повышения стабильности и точности нахождения численного решения, а также для удобства применения встроенных средств визуализации результатов в Mathcad, предварительно были выполнены математические преобразования уравнения Рейнольдса (1) с заменой размерных переменных на безразмерные, а также преобразование полярных координат r и θ в прямоугольные декартовы координаты x и у соответственно.

На рисунке 8 показана расчётная область рабочей поверхности пары трения торцового уплотнения, содержащая общее количество узлов 668 шт., из которых 268 шт. узлов приходится на границы расчётной области и 400 шт. узлов располагаются внутри этой области.

Вычисление несущей способности жидкостного слоя в торцовом уплотнении проводилось по формуле

Возможные отрицательные значения давлений (кавитация рабочей жидкости для третьей задачи не учитывались, точно так же, как и в работе [4]).

Для сравнения результатов с применением разных РБФ использовалась относительная погрешность по несущей способности

где W_f - несущая способность смазочного слоя, определённая с помощью известных аналитических выражений.

Осесимметричная задача с постоянным зазором

Правая часть уравнения Рейнольдса (1) для рассматриваемой первой и второй осесимметричной задачи торцового уплотнения вала превращается в ноль

Аналитическое решение для определения несущей способности гидростатического смазочного слоя жидкости в торцовом уплотнении с постоянным минимальным зазором hmin и ψ_Σ = 0 [4]

Результаты расчётов приведены в таблице 4. На рисунке 9 показано поле распределения давления в зазоре пары трения торцового уплотнения, и на рисунке 10 - линии уровня этих давлений.

Осесимметричная задача с конфузорной и диффузорной щелью

Для второй осесимметричной задачи справедливо уравнение (34), а изменение зазора h по радиусу r колец пары трения торцового уплотнения определяется функциональной зависимостью

в которой общий угол конусности

Несущая способность гидростатического смазочного слоя жидкости в торцовом уплотнении с конфузорной щелью [4]

и с диффузорной щелью [4]

Результаты расчётов для конфузорной и диффузорной конусной щели приведены в таблицах 5 и 6. На рисунке 11 показано поле распределения давления в зазоре пары трения торцового уплотнения для конфузорной щели, а на рисунке 12 для диффузорной щели.

Результаты численных исследований позволяют сделать вывод о том, что для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовому уплотнению (осесимметричная задача с постоянным зазором, а также задачи с конусной щелью) использование бессеточного метода на основе РБФ допустимо со следующими радиальными базисными функциями:
• MQ и полиномами с m_P = 3;
• GMQ для q ≈ 1.03 и константой (m_P = 1);
• GTPS для q = 3 и константой (m_P = 1).

Применение РБФ GTPS с параметром q = 4 нецелесообразно, т.к. связано со значительными временными затратами на поиск коэффициентов λ вследствие медленной сходимости к приемлемому численному решению.

Аналитическое (приближённое) значение несущей способности смазочного слоя жидкости с учётом гидростатической и гидродинамической силы в уплотнении оценивалось с помощью формул, предложенных в работе [4]

где

Баланс осевых сил, действующих в торцовом уплотнении

достигается при минимальном зазоре h_min ≈ 0.34 мкм и осевой гидравлической силы сжатия W_closing ≈ 4217 Н, возникающей от перепада давления рабочей жидкости на уплотнении.

Результаты расчётов приведены в таблице 7. На рисунках 12 - 14 изображено поле распределения давления рабочей жидкости в зазоре пары трения торцового уплотнения для рассматриваемых РБФ.

Анализ результатов решения третьей задачи позволяет сделать вывод о возможности дальнейшего практического использования бессеточного метода на основе глобальных РБФ, т.к. расхождение между расчётной несущей способностью (32) и приближённым аналитическим решением (41) составляет менее 9%, и, в то же время, для рассматриваемых РБФ разница по несущей способности смазочного слоя W_{f_MKM} менее 0,5%.

---

---

Предварительная оценка влияния количества узлов на результаты численного решения и затраты времени вычислений

Из ранее опубликованных исследований [16, 17, 20] известно, что с увеличением количества узлов повышается точность аппроксимации с помощью радиальных базисных функций, а также ускоряется сходимость бессеточного метода на основе РБФ. При использовании современной компьютерной техники для решения уравнения Рейнольдса с помощью бессеточного метода на основе РБФ, затраты времени на компьютерные вычисления играют существенно большую роль по сравнению с расходами ресурсов (оперативной памяти) компьютера. Это, в частности, связано с необходимостью многократных итераций при поиске минимального зазора в паре трения для достижения баланса действующих осевых сил в торцовом уплотнении.

Для практического применения бессеточного метода на основе РБФ инженеру-проектировщику (исследователю) важно знать какое количество узлов в расчётной области рабочей пары трения уплотнения следует выбрать для получения приемлемого численного решения с возможно минимальными затратами времени на компьютерные вычисления. С этой целью предварительная сравнительная оценка влияния общего количества узлов на результаты расчётных параметров и на затраты времени вычислений [применительно к третьей задаче] проводилась с учётом предлагаемого критерия плотности общего количества узлов

определяемого как отношение общего количества узлов в расчётной области к номинальной площади рабочего пояска пары трения торцового уплотнения.

Результаты численных исследований приведены в таблице 8, а также показаны на рисунках 16 - 19.

Анализ полученных данных наглядно демонстрирует существование оптимального диапазона для критерия J_N ≈ 35...45 шт./см², ниже которого точность численного решения существенно ухудшается, а выигрыш по времени вычислений составляет не более 30%. Излишнее увеличение общего количества узлов и, соответственно, дальнейшее повышение плотности общего количества узлов J_N более ~50 шт./см² практически не влияет на результаты численного решения, однако затраты времени на вычисления возрастают в разы.

Выводы и рекомендации

Анализ результатов проведенных численных исследований позволяет сформулировать следующие выводы и рекомендации по применению бессеточного метода (коллокаций) на основе глобальных радиальных базисных функций для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовым уплотнениям валов.

1. Рассмотренный в работе численный бессеточный метод на основе радиальных базисных функций является относительно простым в реализации и, одновременно, обеспечивает необходимую и достаточную для оценочных инженерных расчётов точность, не требует использования сложного математического аппарата и мощных вычислительных ресурсов компьютера.

2. Несмотря на значительное количество работ, связанных с применением мультиквадратичной РБФ (MQ), и отмечаемой в исследованиях высокой точностью аппроксимации и свойством экспоненциальной сходимости численного решения с использованием этой РБФ, её существенным недостатком является необходимость поиска оптимальных значений параметра формы "с". Это обстоятельство требует дополнительного решения задачи оптимизации и поэтому не вполне соответствует одной из заявленных в настоящей работе целей поиска численного метода, обладающего балансом между трудоёмкостью реализации и затратами вычислительных ресурсов. Кроме того, при нерациональном выборе параметра формы "c", получаемое численное решение уравнения Рейнольдса неудовлетворительное.

3. Для рассмотренного в работе бессеточного метода решения уравнения Рейнольдса целесообразно применение обобщенной радиальной базисной функции на основе сплайна тонких пластин GTPS для q = 3 и добавлением константы (m_P = 1). Это объясняется отсутствием необходимости поиска оптимального параметра формы "с". Кроме того, получаемые для этой РБФ результаты численного решения уравнения Рейнольдса практически идентичны результатам с использования РБФ MQ и GMQ.

4. Предложен критерий плотности общего количества узлов в расчётной области и исследовано его влияние на точность получаемых результатов и на затраты времени компьютерных вычислений. Возможное использование других дополнительных критериев оптимального количества узлов в расчётной области является предметом отдельного исследования.

5. Проверка бессеточного метода на основе РБФ для решения уравнения Рейнольдса применительно к торцовым уплотнениям, содержащим текстурированной рабочие поверхности колец пары трения, в том числе, микроканавки, является темой предстоящих исследований.

Заключение

Исследовательская работа проводилась авторами настоящей публикации в период времени с середины 2021 года по январь 2023 года по собственной инициативе, за счёт личных средств и ресурсов, т.е. без привлечения сторонних организаций или частных лиц, а также в отсутствие какой-либо поддержки со стороны государства.

Литература

1. Mechanical Seal Practice for Improved Performance, 2nd Revised Edition, Edited by J. D. Summers-Smith, IMechE Guides for the Process Industries, Mechanical Engineering Publication Limited for the Institution of Mechanical Engineers, LONDON, 1992. - 216 p.

2. Уплотнения и уплотнительная техника: Справочник / Л.А. Кондаков, А.И. Голубев и др. М: Машиностроение, 1994. - 448 с.

3. Токарь И.Я. Проектирование и расчет опор трения. М: Машиностроение, 1971.-168 с.

4. Lebeck A.O. Principles and Design of Mechanical Face Seals. Wiley-Interscience; 1st edition. New York, 1991. - 764 p.

5. А.С. Демура, С.В. Фалалеев, МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТОРЦОВОГО УПЛОТНЕНИЯ С МИКРОКАНАВКАМИ, Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3. 2008. - с. 834-837.

6. Noël Brunetiere, Arthur Francisco. Multiscale Modeling Applied to the Hydrodynamic Lubrication of Rough Surfaces for Computation Time Reduction, MDPI, lubricants, Published: 15 September 2018. - 12 p.

7. Lebeck A.O. How much do we know about mechanical seals? / Sealing Technology September, 2006. - pp. 11-12.

8. Hua Li. Shantanu S. Mulay. Мeshless Methods and their Numerical Properties, CRC Press Taylor & Francis Group, 2013. - 408 p.

9. M. D. Buhmann. Radial basis functions. In Acta Numerica, Vol. 9, Cambridge University Press, 2000. - pp. 1-38.

10. Buhmann M. and Jäger J. On radial basis functions, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach (MFO), №2/2019. - pp. 1-16.

11. S. De Marchi, E. Perracchione. Lectures on Radial Basis Functions, by Stefano De Marchi, Department of Mathematics \ Tullio Levi-Civita", University of Padua (Italy), February 13, 2018. - 64 p.

12. Pepper, D. W. (Darrell W.). An introduction to finite element, boundary element, and meshless methods with applications to heat transfer and fluid flow / Darrell W. Pepper, University of Nevada Las Vegas, Alain J. Kassab, University of Central Florida, Eduardo A. Divo. Embry-Riddle Aeronautical University. American Society of Mechanical Engineers (ASME), 2 Park Avenue, New York, NY 10016, USA, 2014. - 269 p.

13. M.A. Golberg, C.S. Chen, S.R. Karur. Improved multiqudric approximation for partial differential equations, Eng. Anal. Bound. Elem. 18, 1996. - pp. 9–17.

14. R.L. Hardy. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces, J.Geophys. Res. 76, 1971. - pp. 1905-1915.

15. Hardy, R. Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method: 20 years of discovery 1968–1988. Comput. Math. Appl., 1990. - pp.163–208.

16. Kansa, E.J. Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics-I: Surface approximations and partial derivatives estimates. Computers & Mathematics with Applications, 1990. 19. - pp. 127–145.

17. Kansa, E.J. Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics-II: Solution to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Computers & Mathematics with Applications, 1990. 19. - pp. 147–161.

18. A. I. FEDOSEYEV, M. J. FRIEDMAN, E. J. KANSA. Improved Multiquadric Method for Elliptic Partial Differential Equations via PDE Collocation on the Boundary, PERGAMON, Computers and Mathematics with Applications 43, 2002. - pp. 439-455.

19. B. Fornberg and N. Flyer, Solving PDEs with radial basis functions, Acta Numerica, 2015, pp. 215-258.

20. A.J.M. Ferreira, E.J. Kansa, G.E. Fasshauer, V.M.A. Leitao. Progress on Meshless Methods, Computational Methods in Applied Sciences, Volume 11, Springer Science + Business Media B.V. 2009. - 305 p.

21. Расчёт торцевых уплотнений. / [Электронный ресурс]. - Режим доступа: URL: https://www.seals.highexpert.ru/software.html (дата обращения 11.01.2023).

22. J. Li, A.H.D. Cheng, C.S. Chen. A comparison of efficiency and error convergence of multi-quadric collocation method and finite element method, Eng. Anal. Boundary Elem. 27 (3), 2003. - pp. 251–257.

23. Chang Shu. Differential quadrature and its application in engineering, Springer-Verlag London, 2000. - 340 p.

24. J. Wertz, E. J. Kansa, L. Ling. The Role of the Multiquadric Shape Parameters in Solving Elliptic Partial Differential Equations, An International Journal Computers and Mathematics with Applications 51, 2006. - pp. 1335-1348.

25. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. / Перевод с англ. – М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1996. - 712 c.